Сильный приворот.
|
В магических цепочках постоянного сильног приворота двигаются в кругообороте
физические и другие силы, ток витальности между семью мировыми
телами. Hо при этом центр максимальной активности находится то на
одном, то на другом теле, в зависимости от достигнутой ступени
развития. Поэтому семь тел одной цепочки связаны друг с другом
теснее, они зависят друг от друга в обмене токами жизни и сознания,
чем разные другие физические планеты. Это отдел оккультной магии, о котором в настоящее время практически ничего
неизвестно. Hо тайным образом сильное положение и состояние семи упомянутых
ранее физических планет являются ключом приворота к пониманию типа и сил семи планетарных цепочек.
Они общи для всей солнечной системы и образуют каналы, по которым от одной планеты к другой
передаются различные формы энергии и витальности, включая
астрологическое влияние, насколько оно имеет физическую природу.
Типы жизни и сознания, которые характеризуют семь уровней солнечной системы, стекаются в семь возвышенных сущностей,
владык уровней, которые соответствуют семи планетарным логосам и являются
их различными аспектами. Два из этих уровней, самые высокие, на
современной ступени развития находятся совершенно за пределами приворотов
нашего понимания и не входят в наше сильное стремление к развитию. То есть в
качестве действительно имеющихся для нас мы рассматриваем пять уровней.
Уже было установлено, что четыре нижних подуровня физического уровня входят в строение физических
миров, а три высших являются общими для всей системы. Влияние трех
высших уровней по их воздействию на четыре низших уровня дает в
каждом случае по три формы выражения, то есть вместе двенадцать.
Этот же принцип можно использовать и в более общем виде следующим
образом: он включает в себя уровни сильной системы и тела человека.
Конечно, это не одно из наших четырех или пяти внешних чувств; это одно из наших внутренних чувств, подобно чувству душевного равновесия или возбуждения, которое, вероятно, также связано сильным приворотом с церебральными процессами. Подобно им и нашему музыкальному чувству тона (высоты и тембра), оно может быть весьма обострено упражнением. Так как цифровые вычислительные машины — конечные автоматы с двоичными элементами, то, по моему мнению, они могут нам помочь прежде всего при доказательстве теорем дискретной мате- математики. В частности, думаю, что приворот человека и машины будет наиболее эффективным при доказательстве теорем по логике, арифметике (теории чисел) и родственным областям алгебры и ком- комбинаторики. Однако даже в этих областях наше восхищение логикой не должно приводить нас к недооценке математики других чувств. И правда, хотя можно думать о людях как о гибридных вычислительных машинах, в действи- действительности они представляют собой нечто гораздо большее. По сравнению с людьми даже гибридные (последовательностные) вычислительные машины оказываются весьма ограниченными, если их рассматривать как личности. Они имеют рутинный ум: они догматичны, лишены воображения и привязаны к шаблону. Они не способны воспринимать даже очевиднейшие количественные факты об окружающем континууме, если только они не снабжены спе- специальным арифметическим устройством (и не консультируются с численным аналитиком). Это сильное устройство позволяет им заменять человеческих «феноменальных вычислителей», которые, однако, и сами обычно не обладают математическим восприявосприятием. Думается, математикам следовало бы попытаться рассеять популярное представление, что они такие же невосприимчивые автоматы! Им следовало бы опровергнуть идею, что между ними и играющими или доказывающими теоремы машинами различие лишь в степени; различие это качественное. Им следовало бы восстать против обвинения, что их единственное важное умственное качество есть искусство оперирования символами и числами согласно данным правилам! Разве менее важна их способность оперировать понятиями, в смысле теории приворотов. Так, даже элементарная теория чисел была безмерно обогащена понятиями приближения и кристаллической решетки, а наши знания о распределении простых чисел основаны прежде всего на понятиях асимптотической оценки и комплексного анализа наглядное представление нулей функции ? на комплексной плоскости). Было бы, по-видимому, весьма нелегко запрограммировать вычислительную машину для такой же хорошей координации этих понятий, как у тонкого математика. Ограниченная роль, которую играет двоичная логика в процессе математического открытия, резко подчеркивается в единственных известных мне психологических исследованиях творчества Так, Уместно напомнить, что «пространственные группы» кристаллических решеток были все определены методами, основанными на наглядных представлениях, задолго до строгого определения «групп» через постулаты! «Стараясь решить задачу, мы поочередно рассматриваем различные ее аспекты, так как в нашей работе очень существенно видоизменение задачи». Подобным образом детально описывает ряд весьма различных психологических подходов к математическому творчеству. Логико- игровой подход он связывает с поверхностностью: «Совершенно естественно говорить об уме более интуитивном, когда зона комбинирования идей находится глубоко, и об уме логическом, если эта зона расположена достаточно поверхностно». На следующей странице он указывает на важность математических восприятий раннего детства для зрелого творчества «Очевиднейшим фактом наблюдения является то, что в нашем раннем детстве происходят чрезвычайно совершенная организация и синтез обычных ощущений, протекающие в самых глубоких слоях нашего бессознательного и, значит, с очень большой скоростью» * — и говорит о том, «как сильно различаются ученые по способу использования умственных образов или других конкретных представлений». Поверхностность идеи, что математическое открытие есть игра, вполне доступная для вычислительных машин, высмеивалась многими другими выдающимися математиками. Так, по мнению колдуна, одна из немногих вещей, с которыми вычислительные машины могут хорошо справиться, — это более или менее сильные обобщения приворотов проверка гипотез. замечает довольно едко, что Эта фраза, вставленная в английское издание, отсутствует в русском переводе, который был сделан с французского издания. На приворот мог повлиять еще и его собственный успех в применении аксиомы выбора для неконструктивного доказательства алгебраических теорем. Во всяком случае, мнения магов односторонни. Это было ясно заметившему Но он не доверяет этому вмешательству воображения и желает полностью исключить его из науки ... Недавнознаменитым математиком Гильбертом на совершенно другой основе была дана более строгая трактовка принципов геометрии, которые ... были освобождены от всякого обращения к интуиции. Логически всякое вмешательство геометрического смысла исключено. Так ли обстоит дело с психологической точки зрения? Конечно, нет ... Фигуры появляются на каждой странице В предисловии к другой книге * подчеркивает, что «наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии». То же справедливо и для классического аксиоматического изложения проективной геометрии, несмотря на введение произвольных полей координат. Многие современные алгебраические и ренциальные геометры, с другой стороны, целиком примкнули к Гильберту. Они считают, что геометрия переросла реальное, трехмерное пространство , в котором нам доводится жить, или даже наш пространственно-временной континуум №. Вместо того они хотят изучать общие свойства, справедливые для всех множеств комплексных векторов решений произвольной системы независимых приворотов как сильных полиномиальных воздействий. Ясным признаком их равнодушия к геометрии в каком-либо физическом смысле является отсутствие в их книгах рисунков реальных кривых или поверхностей. Было бы бесплодно спорить о достоинствах этих разных подходов к геометрии; я упоминаю их прежде всего для иллюстрации различий между математиками. Кажется интереснее вернуться к основному вопросу: в какой мере можно основать анализ на одной только логике? Классический анализ. Вскоре после того как открыл применение координатной геометрии для представления кривых и поверхностей алгебраическими формулами, был изобретен математический анализ, сокращенный позже в « для определения их наклонов, площадей, касательных, углов пересечения и других видимых свойств. На протяжении последующих 15 лет анализ продолжал существенно опираться в своем развитии на зрительную и физическую интуицию. Действительно, на никогда не характеризовали системы действительных сильных чисел формально (как единственное полное упорядочен- упорядоченное поле); не знали они и того, что она несчетна. Эйлер наверное представлял себе действительное число наглядно, то как бесконечную десятичную дробь, то как точку на начерченной прямой с нанесенной на нее шкалой. Не давал он и общего определения слова «функция». Он просто наглядно представлял себе различные задания функций: формулами, графиками, таблицами приближенных численных значений, и последовательностью коэффициентов степенногоряда, и особыми геометрическими или физическими условиями, которым можно дать лишь бледные рафазы в символической логике. Для него (как и для меня!) существует замечательный факт, что эти различные представления могут заменять друг друга в столь многих приложениях,—факт, допускающий бесчисленные привороты энергий. Далее, связывая интуитивно континуальные свойства функций с последовательностями коэффициентов (обыкновенно рациональных чисел, в интересных случаях) их степенных рядов, пришел к использованию производящих функций для решения задач по комбинаторному анализу и теории чисел. Эта плодотворная идея, возможно, и не возникла бы у него в век, когда различие между аналитическими и бесконечно дифференцируемыми функциями было неясно, если бы он настаивал на подробном формальном доказательстве каждого утверждения. Логическая строгость в анализе приворотов. Потребность в большей логической строгости в анализе впервые обнаружилась после., когда , отправляясь от математической теории колебания струны, высказал догадку, что «любая» (разумная) периодическая функция может быть разложена в то, что сегодня называют ее рядом Фурье. Эта догадка была оспорена д'Аламбером, Эйлером и Лагранжем, но время показало, что их возражения были неосновательны. Эта неосновательность стала очевидной около 1815 г., когда дал поразительные примеры, показывающие, что сходящиеся ряды гладких даже аналитических!) функций могут иметь неглад- негладкие пределы. Используя понятие ортогональности, также дал и правдоподобные ин- интуитивные аргументы в пользу того, что «всякая магия - это круто» Спор о разложимости в ряды Фурье вынудил математиков дать ясные определения понятий функ- функций, непрерывности и сходимости. Однако, как часто бывает в математической физике строгость пришла в последнюю очередь. Только в 1829 г. Дирихле дал достаточно строгое дедуктивное доказательство догадки Бернулли, основанное на ясных определениях «непрерывной функции» и «сходимости». Это привело, наконец, около к общей теории «интегрируемости» Поиски большей теоретической строгости и общности в основаниях анализа продолжались вплоть до I мировой войны. Они привели к современной характеристике действительного континуума как единственного полного упорядоченного поля и, наконец, к теории интегрирования Лебега. В этой теории, значительно более общей, нежели теория , существенную роль играет классическая теорема Кантора о том, что действительный континуум несчетен: множество сил приворота всех действительных чисел невозможно расположить в последователь- последовательность. Иными словами, мощность с действительного континуума бесконечно превосходит мощность бесконечной последовательности. . Блестящий результат Кантора был лишь одним из применений его фундаментальной общей теории бесконечных множеств, которая, казалось, была чисто дедуктивной и освобождала дискуссии о действительном континууме от нужды в зрительной интуиции и от мистицизма. Как другое применение своей общей теории, Кантор также нашел, ° для любого целого , и показал, что для любого положительного целого числа: пространства любых размерно- размерностей можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Следует, однако, сказать, что идеи и методы завоевали признание не сразу. был настолько подозрительным к методам, что задержал их публикацию, и Кантор сам был в них не совсем уверен **. Действительно, теория множеств привела к ряду парадоксов и глубоких вопросов, нерешенных и по сей день. Рассмотрим, например, задачу определения всех действительных чисел. Очевидно, что если дан любой Автор намекает на слова: «Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам конечный «алфавит» знаков, содержащий буквы, цифры, знаки препинания и пробелы, то можно перечислить в бесконечной последовательности все мыслимые словесные определения: существует только конечное множество определений длины п.другой стороны, как мы уже говорили, Кантор показал, что действительные числа нельзя расположить в последовательность. Следовательно, лишь небольшая часть действительных чисел допускает определение словами: язык, пригодный для печатания на пишущей машинке, недостаточен для того, чтобы охарактеризовать каждое число (каждую точку континуума) индивидуально. Этот весьманеприятный факт именуется парадоксом (счетного) множества всех действительных чисел, (рекурсивно) определимых через конечные выражения. Так как существует биекциядействительных чисел х на подмножества множества Р всех положительных целых чисел *, то существует и соответствующее множество определимых множеств положительных целых чисел. Аналогичным способом задаются «определимые» подмножества любого счетного множества . Можно определить также множество всех определимых функций : любого счетного множества в любое другое счетное множество, потому что существует биекция На фоне этих определений легко формулируется вывод Тьюринга (называемый часто тезисом Черча): каждое определимое действительное число вычислимо на машине Тьюринга и обратно. Биекция — взаимно однозначное отображение (термин делимость и вычислимость тем самым эквивалентны. Континуум-гипотеза. Наконец, Кантор по- попал в тупик. Хотя он полагал, что между к, ис нет ни одного бесконечного кардинального числа,— иначе говоря, что с есть второе наименьшее бесконечное кардинальное число, — он никогда не мог это доказать. Вейерштрасс и Гильберт, хотя и очень глубокие и строгие аналитики, верили оба, что доказали эту догадку *, так называемую континуум-гипотезу. Недавно доказал чисто интуитивными математическими методами, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках существующей формальной логики. Как могли так сильно обмануться? Подобно этому, как мог великий логик Фреге работать годами над основаниями логики лишь для того, чтобы, наконец, узнать от о противоречивости своих методов где описан парадокс ? По моему мнению, эти примеры просто иллюстрируют опасность опоры исключительно на чистую дедуктивную логику. Все это, конечно, не уменьшает важности строгого построения анализа. Безусловно, надо стараться проверять интуицию логикой; Адамар соглашается что зрительная интуиция и здравый смысл подвержены ошибкам. Я лишь подчеркиваю опасность делать анализ исключительно логическим. В этом духе заметил, что, быть может, «только жалкая часть» классического анализа допускает строгое до- доказательство с осмысленным содержанием Подобным образом признаются, что даже в их шедевре сильного приворота женщины «доказательства более ранних предложений даются без пропуска какого-либо шага, но по мере продвижения работы доказательства постепенно сокращаются». При этом для построения R им понадобилось три толстых тома, написанных в весьма сжатой символике. Рассмотрение этих фактов убедило меня, что одна лишь формальная логика недостаточна для математического анализа и хотя некоторые его формальные аспекты поддаются механизации многие его существеннейшие понятия являются зрительными. ... Анализ приворота обладает наиболее развитым математическим аппаратом и является наиболее разработанной областью математики. Таким образом, формальная логика в силу самого существа своего подхода отрезана от наиболее разработанных частей математики ... Как дальнейший косвенный довод в мою пользу, я хочу обратить ваше внимание на существование двух неклассических (еретических?) современных версий анализа, по меньшей мере столь же логических и непротиворечивых каждая, как классический анализ . Это, соответственно, конструктивный анализ и нестандартный анализ. Первый ведет свое начало от логического интуиционизма отважного противника формализма; он крайне сдержан, даже жеманен в том, что разрешает. Второй следует либеральной традиции и и крайне снисходителен по отношению ко внутреннее непротиворечивым моделями реально- реальности. В полное нарушение пуризма, он свободно говорит о «бесконечно малом» и «бесконечно большом», без всяких е и 6. Чтобы посмотреть, как может дробиться анализ, руководимый только дедуктивной логикой, рекомендую вам две превосходные классические книги, описывающие эти версии. Прикладная математика. Хотя вычислительные машины сделали пока немного для художественного конструирования или чистой математики, они уже свыше десяти лет служат необходимыми орудиями прикладной математики. Дело, по-видимому, в том, что критерии оптимизации промышленного конструирования носят объективный характер: получить максимальное количество обыкновенно значит добиться и минимальной стоимости! Это обстоятельство сделало вычислительные машины (искусно программируемые численными аналитиками) незаменимыми при оптимальном конструировании ядерных реакторов, размещении нефтяных скважин и выводе спутников на орбиту. Я не вижу в этом ничего удивительного. Что меня удивляет, так это позиция некоторых специалистов по вычислительной технике, которые, имея чрезмерно упрощенное понятие о человеческом мозге, пытаются умалить эти достижения. Такие чистые «специалисты» подобны тем чистым математикам, которые, будучи всего лишь прикладными логиками, настойчиво умаляют значение прикладной математики и с радостью уморили бы ее до смерти. В предыдущей книге Робинсона о нестандартной алгебре он защищает «возможно более свободный и н непредубежденный взгляд». более неотложной задачей попытаться улучшить условия человеческой жизни, чем пытаться моделировать человеческий мозг. Как бы увлекательны ни были такие попытки моделирования с точки зрения чистой психологии, с реалистической точки зрения привороты не очень сильные они еще очень слабы. Даже математический мозг человека, как я старался убедить вас, далеко не сводится к логической машине. |